Un genio matemático gana el premio Abel al resolver un enigma de 350 años

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El premio Abel de 2016, considerado el Nobel de las matemáticas, ha sido asignado al teórico de números británico Andrew Wiles por su solución al último teorema de Fermat. Este problema ha mantenido ocupados a algunas de las mentes más prodigiosas del mundo durante los últimos 350 años. La Academia Noruega de Ciencias y Letras anunció su decisión el pasado 15 de marzo.

Junto con el reconocimiento que supone la demostración del teorema, Wiles recibirá la nada despreciable cantidad de 6.000.000 NOK (Coronas Noruegas); unos 630.000 €. El premio se ha concedido tras su demostración, publicada inicialmente en 1994, que prueba que no existe ningún número entero positivo x, y y z, que satisfaga la ecuación xn + yn = zn para n mayor que 2.

El hecho de que Wiles haya resuelto un problema considerado demasiado difícil por muchos, a pesar de su simple formulación, le ha convertido en “el matemático más celebrado del siglo XX,” según palabras de Martin Bridson, director del Instituto de Matemáticas de Oxford y a su vez alojado en un edificio bautizado con el nombre de Wiles. Si bien consiguió su logro hace más de dos décadas, el matemático sigue inspirando las mentes de los jóvenes, algo evidente al ver a multitud de estudiantes aparecer en sus clases públicas. “Le tratan como a una estrella de rock,” comenta Bridson. “Hacen cola para tomarse fotos con él.”

¿Qué es el último teorema de Fermat?

 

Problema II.8 de la edición de Aritmética de 1621 de Diofanto. A la derecha se puede apreciar el margen que le resultó a Fermat demasiado pequeño para albergar la demostración de su “último teorema.”

Pierre de Fermat es considerado, quizás, el matemático aficionado más famoso. En realidad fue un abogado francés que trabajaba en el parlamento de Toulouse en Francia, pero con una incesable curiosidad en las matemáticas. Generalmente comunicaba su trabajo en este campo a través de cartas a sus amigos, en las que incluía poca o ninguna prueba de sus teoremas. En aquellos tiempos el secreto era muy común en los círculos de matemáticas, lo que tendía a conllevar disputas entre autores que afirmaban haber sido los primeros en realizas sus avances.

Fue en el año 1637 cuando Fermat escribió en el margen de una copia del libro Aritmética (originalmente un texto del griego Diofanto de Alejandría del siglo III), con respecto a la ecuación, que tenía prueba de ella, solo que era demasiado grande para caber en el margen.

No obstante, hoy en día existen dudas de que Fermat en realidad hubiera podido probar dicha ecuación. Para su trabajo Wiles hizo uso de demostraciones y teorías avanzadas desarrolladas a lo largo del siglo XX que habría sido imposible que estuvieran al alcance de Fermat.

Así pues, queda demostrado que no existe ningún número entero positivo x, y y z, que satisfaga la ecuación xn + yn = zn para n mayor que 2.

Detalle de la edición de la Aritmética de Diofanto de 1670 en que escribió Fermat: es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados, y en general, una potencia cualquiera, aparte del cuadrado, en dos potencias del mismo exponente. He encontrado una demostración realmente admirable, pero el margen del libro es muy pequeño para ponerla.

Una muy interesante explicación sobre el último teorema de Fermat queda perfectamente explicado en el siguiente vídeo a partir del minuto 10:20.

La búsqueda de una vida

La historia de Wiles se ha convertido en un cuento clásico de tenacidad y resistencia. Durante su etapa como miembro de la facultad en la Universidad de Princeton en Nueva Jersey, Estados Unidos, en la década de 1980, se embarcó en una búsqueda solitaria de siete años para resolver el problema, trabajando en su ático sin avisar a nadie con la sola excepción de su esposa. En junio de 1993 pasó a hacer un anuncio histórico en una conferencia en Cambridge, su ciudad natal en el Reino Unido, sólo para escuchar dos meses después que un colega había descubierto que su demostración contenía un grave error. Aun así, tras un año de frenético trabajo, y con la ayuda de uno de sus antiguos alumnos, Richard Taylor, que ahora trabaja en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, fue capaz de corregirla. Cuando los dos documentos resultantes fueron publicados en 1995, llegaron a ocupar un número completo de la revista Annals of Mathematics.

Andrew Wiles. Imagen: Denise Applewhite, 2005

Wiles oyó hablar acerca del matemático francés Pierre de Fermat durante su niñez, en Cambridge. Sgún le contaron, Fermat formuló su teorema del mismo nombre en una nota escrita a mano en los márgenes de un libro en 1637: “Tengo una demostración verdaderamente maravillosa de esta proposición que este margen es demasiado estrecho para contener,” escribió (en latín).

En palabras de Wiles, la idea de Fermat es “el tipo de historia que atrapa la imaginación de las personas cuando son jóvenes y están pensando en adentrarse en las matemáticas.”

Pero aunque hubiera creído tener prueba de ello en su momento, solamente la demostración para un caso especial le ha sobrevivido, para el exponente n = 4. Un siglo más tarde, Leonhard Euler realizó la demostración para n = 3, y Sophie Germain realizó la demostración para un número indeterminado de exponentes, pero todavía no para todos. Actualmente, los expertos tienden a coincidir en que la forma más general del enunciado hubiera sido imposible de descifrar sin herramientas matemáticas disponibles únicamente a partir del siglo XX.

En 1983, el matemático alemán Gerd Faltings, ahora parte del Instituto Max Planck de Matemáticas en Bonn, dio un gran salto hacia adelante, demostrando que la declaración de Fermat tenía, a lo sumo, un número finito de soluciones, aunque no pudo demostrar que el número debiera ser cero. De hecho, demostró un resultado considerado por los especialistas como más profundo e interesante que el último teorema de Fermat; demostró que una clase más amplia de ecuaciones tiene, a lo sumo, un número finito de soluciones.

El número ganador

Para reducirlo a cero, Wiles tomó un enfoque diferente: demostró la conjetura de Shimura-Taniyama, una propuesta de 1950 que describe cómo dos ramas muy diferentes de las matemáticas, llama curvas elípticas y formas modulares, son conceptualmente equivalentes. Otros habían mostrado cómo la demostración de esta equivalencia implicaría la demostración de Fermat y, al igual que el resultado de Faltings, la mayoría de los matemáticos lo consideran esto como mucho más profundo que el último teorema de Fermat en sí. No en vano, la cita completa para el Premio Abel afirma que fue otorgado a Wiles “por su impresionante demostración del último teorema de Fermat por medio de la conjetura de la modularidad de las curvas elípticas semiestables, inaugurando así una nueva era en la teoría de números.”

Ejemplo de formas modulares, una de las ramas en las que trabajó Wiles y que demostró ser conceptualmente equivalente a las curvas elípticas.

El vínculo entre la conjetura de Shimura-Taniyama y el teorema de Fermat fue propuesto por primera vez en 1984 por el número teórico de Gerhard Frey, ahora en la Universidad de Duisburg-Essen, en Alemania. Afirmó que cualquier contraejemplo al último teorema de Fermat también llevaría a un contraejemplo a la conjetura de Shimura-Taniyama.

Kenneth Ribet, un matemático de la Universidad de California, Berkeley, en Estados Unidos, pronto demostró que Frey tenía razón, y por lo tanto cualquier persona que demostrara la conjetura más reciente se haría también con la de Fermat. Aun así, eso no parece hacer la tarea más fácil. “Andrew Wiles es probablemente una de las pocas personas en la Tierra que tuvieron la osadía de soñar que en realidad podía ir y probar esta conjetura,” dijo Ribet a la BBC en el documental de 1996.

Últimamente, Wiles ha centrado sus esfuerzos en otra importante conjetura en la teoría de números que permanece sin resolución, catalogado como uno de los siete problemas del Premio del Milenio planteados por el Instituto Clay de Matemáticas en Oxford, Reino Unido (algo así como “la pregunta del millón”). Sigue trabajando muy duro y piensa en las matemáticas durante la mayor parte del día, incluso a medida que camina a la oficina por la mañana. “No quiere ir en bicicleta”, dice Bridson. “Piensa que sería un poco peligroso hacerlo mientras piensa en las matemáticas.”

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2017-02-12T17:07:11+00:00